Josef Kučerka zahájil kariéru v dresu svého rodného Zlína, poté se vydal do Francie. Tam během 11 let strážil branku Ajaccia a Saint-Räphael. V tomto období také patřil na soupisku české reprezentace. Zúčastnil se tří Mistrovství světa (1995,1997 a 2001) a dvou Mistrovství Evropy (1996, 1998). Památné jsou především MS 1995 na Islandu, kde svými výkony pomohl k 8. místu a ME o rok později ve Španělsku. Tentokrát čeští házenkáři skončili na 6. místě a dokázali porazit i úřadující mistry světa z Francie.
V roce 2009 posílil TJ Cement Hranice, ihned se stal oporou týmu a jako aktivní brankář vydržel dalších 14 sezon. Svými skvělými výkony se podepsal pod největší úspěchy v historii hranické házené. V sezóně 2012/2013 vyhráli hráči Cementu český pohár a v Extralize skončili na 2. místě, o rok později obhájili 2. místo v lize, v sezóně 2014/2015 získali stříbrnou medaili v poháru a prozatím posledním úspěchem Hranic je 3. místo v Extralize ze sezóny 2015/2016. Středem pozornosti při zahajovacím ceremoniálu před zápasem s Maloměřicemi byli spolu s Kučerkou také další dva důležití hráči, kteří přispěli k těmto úspěchům – Jaroslav Zemánek (31 zápasů za Národní tým) a Martin Stržínek (15 zápasů za Národní tým). Stržínek se k překvapení všech diváků objevil po několika letech znovu v hranickém dresu přímo na hřišti.
Zápas byl od začátku velmi vyrovnaný, ale více ze hry měl domácí Cement, jehož hráči celý první poločas drželi náskok jednoho až tří gólů. Martin Stržínek se poprvé na hrací plochu dostal ve 21. minutě a každý jeho nástup doprovázely ovace diváků. Ve 27. minutě navíc prokázal své zkušenosti a vstřelil gól, kterým Hranicím opět vrátil tříbrankové vedení. V závěru poločasu své úniky neproměnili domácí Andrš a Dolák a do kabin hráči odcházeli za stavu 13:10.
Ve druhé a šesté minutě druhého poločasu se opět prosadil 39 letý Martin Stržínek, a když ve 40. minutě domácí pivot Jaroslav Fulneček zvýšil náskok Hranic už o čtyři branky, jen málokdo pochyboval, že by si domácí nepřipsali první výhru v sezóně. Maloměřice však dokázaly zápas zdramatizovat a 10 minut před koncem snížili na rozdíl jednoho gólu. Hráči Cementu nebyli v poslední patnáctiminutovce schopní dát gól, zatímco Maloměřičtí se po pěkných akcích a brankách Koubka (6 gólů), Korgera (5) a Havláta (4) dostali do vedení.
Josef Kučerka se do hry dostal až na poslední 4 minuty a dvěma skvělými zákroky držel naděje domácích na zisk bodů. Ti mohli dokonce získat zpět ztracené vedení, ale v poslední minutě dvě obrovské šance neproměnil Petr Magrla a Maloměřice tak mohly slavit vítězství 23:22.
I přes prohru však po zápase následoval aplaus ve stoje a fanoušci vyvolávali jméno Josefa Kučerky, který po zápase v dojetí děkoval své rodině, všem týmům, za které si ve své kariéře zahrál a také fanouškům Cementu. Na závěr potvrdil svou veselou povahu, když řekl: „Chtěl bych poděkovat taky všem soupeřům, že mě trefovali a díky tomu mi v Hranicích pořád prodlužovali smlouvu.“ Hráči Maloměřic prokázali Kučerkovi respekt a úctu, když po závěrečném hvizdu zůstali na hrací ploše a tleskali spolu s diváky. Na tuto událost se bude v Hranicích dlouho vzpomínat stejně jako na legendu, která ukončila svou bohatou kariéru – Pepu Kučerku.